Im Jahr 1999 gründete der Bostoner Geschäftsmann Landon Clay eine Stiftung mit dem Namen Clay Mathematics Institute (CMI) zur Förderung der Mathematik. Ein Jahr später, im Jahr 2000, präsentierte das CMI in Cambridge Massachusetts die 7 wichtigsten ungelösten mathematischen Aufgaben – die sogenannten Millenium-Probleme. Für jede Lösung vergibt das CMI einen Geldpreis in Höhe von 1 Million US-Dollar.
Im Jahr 2002 lieferte der Russe Grigori Jakowlewitsch Perelman, 1966 in Leningrad geboren, den Beweis für die sogenannte Poincaré-Vermutung – eine der sieben schwierigsten mathematischen Aufgaben der Welt. Auf das Preisgeld, Ehrungen, Jobangebote der weltbesten Universitäten und die Fields-Medaille, eine Art Nobelpreis für Mathematik, verzichtete Perelman allerdings und zog sich komplett zurück.
So blieben nur zwei Jahre nach der Veröffentlichung der Millennium-Rätsel noch sechs ungelöste Rätsel der Mathematik übrig.
Millenium-Rätsel 1
Bei der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dreyer geht es um ebene Kurven, die man als elliptische Kurven bezeichnet, um rationale Zahlen auf diesen Kurven, die Bruchzahlen als Koordinaten haben und um die Beziehung zwischen den Teilbarkeitseigenschaften von ganzzahlige Lösungen und die Vielfalt der rationalen Punkte. Diese sollen laut Birch und Swinnerton-Dreyer eine enge Beziehung zu einander haben. Jedoch konnte für diese Vermutung bisher noch kein Beweis erbracht werden.
Die Mathematik der elliptischen Kurven ist wichtig, denn für besonders komplizierte Verschlüsselungsverfahren werden die rationalen Punkte benötigt.
Millenium-Rätsel 2
William Vallance Douglas Hodge leistet fundamentale Beiträge zur Algebraischen Geometrie, also den Lösungsmengen von Polynomgleichungen. Solche Gleichungen können viele Grundformen in der Natur beschrieben. Dazu zählen beispielsweise Kreise, Ellipsen, Geraden in einer Ebene, Sphären und viele weitere komplizierte Figuren im Raum. Die Hodge-Vermutung stellt eine technisch schwierige, aber sehr wichtige Frage: Können die Unterstrukturen solcher Figuren wieder durch Polynomgleichungen beschrieben werden?
Für niedrig-dimensionale Figuren ist dies bewiesen, aber die allgemein Form der Hodge-Vermutung ist offen. Die Theorien für hoch-dimensionale Figuren sind weit entwickelt, insbesondere wenn man dabei mit komplexen Zahlen rechnet. Dies vereinfacht aber nur die Theorie, macht die Vorstellung solcher Figuren aber unmöglich.
Millenium-Rätsel 3
Die Navier-Stocks-Gleichungen sind nach Ihren Erfindern Claude Louis Marie-Henri Navier und George Gabriel Stokes benannt und stammen aus dem Jahr1822 bzw. 1845. Sie beschreiben Strömungen mit Wirbeln und Turbolenzen. Immer wenn es turbulent wird, versagen die bekannten Differenzialgleichungen. Die Navier-Stokes-Gleichungen fragen nach einer Lösungstheorie zu diesen Gleichungen.
Lösungen für diese Gleichungen sind enorm wichtig, denn sie begegnen uns ständig im Alltag. Wetterberichte oder Berechnungen für Windkanäle für Autos oder Flugzeuge würden von den Lösungen dieser Gleichungen sehr profitieren, denn sie würden genauere Berechnungen ermöglichen.
Millenium-Rätsel 4
Das P/NP-Problem ist ein ungelöstes Problem der Komplexitätstheorie und wurde Anfang der 70er-Jahre von Stephen Cook und Leonid Levin erkannt. Das P-ungleich-NP-Problem fragt, ob wirklich Probleme existieren, für die gegebene Lösungen leicht überprüft werden können, das Finden einer solchen Lösung jedoch prinzipiell extrem schwierig ist.
P bezeichnet die Klasse der Problemtypen, die man schnell in polynomialer Zeit lösen kann. NP sind die Probleme, die man schnell überprüfen kann (nichtdeterministisch-polynomial, also erst raten, dann schnell überprüfen).
Ein Beispiel: Wenn die Antwort ja ist, dann ist das Problem des Weltreisenden so definiert: Finde die kürzeste Rundreise durch eine Liste von Ländern ohne ein Land mehrmals zu besuchen.
Millenium-Rätsel 5
Die Riemann-Hypothese wurde im Jahr 1850 durch den Göttinger Mathematiker Bernhard Riemann aufgestellt. Diese Hypothese sucht nach einer genauen Verteilung der Primzahlen, also Zahlen die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. Es gilt, die Riemann-Hypothese zu beweisen.
Millennium-Rätsel 6
Die Yang-Mills-Theorie wurde im Jahr 1945 von Chen Ning Yang und Robert L. Mills aufgestellt. Sie ist eine nichtabelsche Eichtheorie, die zur Beschreibung der starken und schwachen Wechselwirkung herangezogen wird.
Die Yang-Mills-Gleichungen können Elementarteilchen genau beschreiben. Es handelt sich um komplizierte Differenzialgleichungen, die viele Eigenschaften von realen Teilchen beschreiben und vorhersagen können. Aber stimmt es wirklich, dass die Lösungen der Quanten-Version der Yang-Mills-Gleichungen keine beliebig kleine Masse haben können? Gibt es also eine Masse-Lücke für diese Gleichungen?
Aktuelle Experimente und Computersimulationen deuten in diese Richtung, aber noch fehlt der mathematische Beweis.
Millennium-Rätsel 7
Die Poincaré-Vermutung, im Jahr 1904 durch Henri Poincaré aufgestellt, gehört zu den bekanntesten unbewiesenen mathematischen Sätzen und besagt, dass, solange ein geometrisches Objekt kein Loch hat, es zu einer Kugel deformiert (also geschrumpft, gestaucht, aufgeblasen o. ä.) werden kann. Dies gelte nicht nur im Fall einer zweidimensionalen Oberfläche im dreidimensionalen Raum, sondern auch für eine dreidimensionale Oberfläche im vierdimensionalen Raum.
Mit Hilfe der Poincaré-Vermutung lassen sich allgemeine Aussagen zur Beschaffenheit des Universum treffen.
